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\title{\vspace{-4cm}\textbf{河北师范大学高等代数真题}}
\author{杨泽天}
\date{\today}
\linespread{1.5}
\definecolor{shadecolor}{RGB}{241, 241, 255}
\newcounter{problemname}
\newenvironment{problem}{\begin{shaded}\stepcounter{problemname}\noindent\textbf{题目\arabic{problemname}. }}{\end{shaded}}
\newenvironment{solution}{\par\noindent\textbf{解答. }}{\par}
\newenvironment{note}{\par\noindent\textbf{题目\arabic{problemname}的注记. }}{\par}
\pagestyle{plain}
\def\d{\mathrm{d}}
\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{document}
\date{}
\maketitle
\section*{2017年高等代数}
\begin{problem}[本题15分]
    多项式 $f(x)=x^2+ax+b,f(x)\big|f(x^2),$ 求 $f(x)$ . 
\end{problem}

\begin{problem}[本题15分]
    证明：多项式 $x^5+5x+1$ 在有理数域上不可约.
\end{problem}

\begin{problem}[本题15分]
    数域 $P$ 上的 $n$ 级方阵 $A$ 可逆的充分必要条件是存在 $P$ 上的多项式 $f(x)$ m满足 $f(A)=0$ ,但 $f(x)$ 的常数项 $f(0)\ne 0$. 
\end{problem}
\begin{problem}[本题15分]
    设 $A$ 为一个 $2m(m\ge 1)$ 级实对称矩阵，且 $|A|<0$ ,证明：必存在非零实向量 $\alpha$ ,满足 $\alpha^TA\alpha = 0$ . 
\end{problem}

\begin{problem}[本题15分]
    设 $A^*$ 是 $n(n\ge 2)$ 级方阵 $A$ 的伴随矩阵，证明：当 $n=2$ 时，$(A^*)^*=A;$ 当 $n>2$ 时，$(A^*)^*=|A|^{n-2}A$. 
\end{problem}

\begin{problem}[本题15分]
    设复数矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}
    a &b \\
    c &d
    \end{array} \right)$, $|A|=1$ ,证明 $A$ 可以被形式为
    $$ 
    \left(\begin{array}{cc}
        1 &x \\
        0 &1
        \end{array} \right) \text{与} 
        \left(\begin{array}{cc}
            1 &0 \\
            x &1
            \end{array} \right)    $$ 
    的乘积表示.
\end{problem}

\begin{problem}[本题15分]
    令 $\mathbb{R} ^n$ 是实数域上的 $n$ 维列向量所构成的欧式空间，则对于任意的非零向量 $\alpha \in \mathbb{R} ^n$ ,存在
    非零实数 $a$ 和正交矩阵 $T$ 使得 $aT\alpha=e_1$ ，这里 $e_1$ 是第一个分量是 $1$ ，其余分量是 $0$ 的列向量.
\end{problem}

\begin{problem}[本题20分]
    已知向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r \ (r\ge 3)$ 线性无关
    \newline 
    (1) 若向量组 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s$ 可由 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$ 线性表出,
    $\displaystyle\beta_j = \sum_{i=1}^{r}a_{ij}\alpha_i,j=1,2,\cdots, s.$ 证明：向量组 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s$的
    秩等于矩阵 $A=(a_{ij})_{r\times s}$ 的秩.
    \newline
    (2) 若向量 
    $$\beta_1=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3,\beta_2 = \alpha_2+\alpha_3+\alpha_4,\cdots , \beta_{s-1} = \alpha_{s-1}+\alpha_s+\alpha_1
    ,\beta_s = \alpha_s + \alpha_1+\alpha_2
    $$
    证明 向量组 $\beta_1,\beta_2,\cdots, \beta_s$ 线性相关.
\end{problem}

\begin{problem}[本题25分]
    设 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 的一组基，$A$ 是数域 $P$ 上的一个 $n\times r$ 
    矩阵，$B$ 是数域 $P$ 上的一个秩为 $r$ 的一个 $n\times r$ 矩阵，$V$ 上的线性变换 $\sigma$ 在 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 这组基
    下的矩阵是 $AB$ ，证明：
\newline 
(1) 矩阵 $AB$ 的秩 $r(AB)=r$
\newline 
(2) 令 $(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_r)=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)A$ ,则 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_r$ 是 $\sigma$ 的
像空间 $\sigma(V)$ 的一组基.  
\newline
(3) 令 $\eta$ 是 $V$ 中向量 $\alpha$ 在基 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 下的坐标向量，既 $\alpha = (\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)\eta$
,用 $\sigma^{-1}(0)$ 表示 $\sigma$ 的核空间，则 $\alpha \in \sigma^{-1}(0)$ 的充要条件是 $B\eta = 0$.
\newline
(4) $V=\sigma(V)\oplus \sigma^{-1}(0)$的充分必要条件是矩阵 $BA$ 是可逆矩阵.   
\end{problem}
\end{document}